What (who) is Гамильтона оператор - definition
Уравнения Гамильтона — Якоби; Уравнение Гамильтона-Якоби; Уравнение Гамильтона - Якоби; Гамильтона–Якоби уравнение
Гамильтона оператор
набла оператор, ∇-оператор, дифференциальный оператор вида
где i, j, k - координатные орты. Введён У. Р. Гамильтоном (1853). Если Г. о. применить к скалярной функции φ(x, у, z), понимая ∇φ как произведение вектора на скаляр, то получится Градиент функции φ(x, у, z):
если применить Г. о. к векторной функции r (x, у, z), понимая Δr как скалярное произведение векторов, то получится Дивергенция вектора r:
(u, v и w - координаты вектора r). Скалярное произведение Г. о. самого на себя даёт Лапласа оператор.
Оператор (физика)
Оператор в квантовой механике — это линейное отображение, которое действует на волновую функцию, являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы. Операторы обозначаются большими латинскими буквами с циркумфлексом наверху.
Операторы
НЕКОТОРЫЙ КЛАСС ОТОБРАЖЕНИЙ В МАТЕМАТИКЕ
Тождественный оператор; Операторы; Нулевой оператор
в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики (См. Квантовая механика) и квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля) и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) ψ др. определённых векторов (функций) ψ'. Соотношение между ψ и ψ' записывается в виде ψ' = L̂ψ, где L̂ - оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие О. L̂ (О. координаты, О. импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) ψ, т. е. на величину, описывающую состояние физической системы.
Простейшие виды О., действующих на волновую функцию ψ(х) (где х - координата частицы), - О. умножения (например, О. координаты x̂, x̂ψ = хψ) и о. дифференцирования (например, О. импульса p̂, p̂ψ =
, где i - мнимая единица, ħ - постоянная Планка). Если ψ - вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу - матрицу (См. Матрица).
В квантовой механике в основном используются линейные операторы (См. Линейный оператор). Это означает, что они обладают следующим свойством: если L̂ψ1 = ψ'1 и L̂ψ2 = ψ'2, то L̂(c1ψ1 + c2ψ2) = c1ψ'1 + c2ψ'2, где c1 и с2 - комплексные числа. Это свойство отражает Суперпозиции принцип - один из основных принципов квантовой механики.
Существенные свойства О. L̂ определяются уравнением L̂ψn = λnψn, где λn - число. Решения этого уравнения ψn называется собственными функциями (собственными векторами) оператора L̂. Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение λn. Числа λn называется собственными значениями О. L̂, а их совокупность - спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее ψ n, имеет решение при любом значении λn (в определённой области), во втором - решения существуют только при определённых дискретных значениях λn. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил - непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются энергетическими уровнями.
Собственные функции и собственные значения О. физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии ψ должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) ψn О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых О., или эрмитовых операторов (См. Эрмитов оператор).
С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. L̂1 и L̂2 понимается такой О. L̂ = L̂1L̂2, действие которого на вектор (функцию) ψ даёт L̂ψ = ψ'', если L̂2ψ = ψ' и L̂1ψ' = ψ''. Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е. L̂1L̂2 ≠ L̂2L̂1. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство L̂1L̂2 = L̂2L̂1 (см. Перестановочные соотношения).
Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют q-числами, в отличие от с-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика.
О. можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом которых являются унитарные операторы (См. Унитарный оператор). Унитарные О. не меняют норм ("длин") векторов и "углов" между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические).
В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называются антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени (См. Обращение времени) и некоторые др.
В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод квантования вторичного (См. Квантование вторичное), в котором рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся О., действие которых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. рождения и поглощения частиц). О. рождения или поглощения частицы в данной точке х, 
(х) формально подобен волновой функции ψ(х), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физической величине соответственно в квантовой и классической механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц; см. Квантовая теория поля).
Лит. см. при статьях Квантовая механика, Квантовая теория поля.
В. Б. Берестецкий.
Wikipedia
Уравнение Гамильтона — Якоби
В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида
Здесь S обозначает классическое действие, — классический гамильтониан, — обобщённые координаты.
Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).
В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.
Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.
Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.
